Curso de topología general by Francisco J. Díaz, José M. García Calcines

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Example text

Si Y es abierto y cerrado entonces Int(Y ) = Y y Ext(Y ) = X − Y . Aplicando de nuevo (f ) se concluye que F r(Y ) = X − (Int(Y ) ∪ Ext(Y )) = X − X = ∅. (h) (⊂) Si x ∈ Cl(Y ) entonces todo entorno de x tiene intersecci´on no vac´ıa con Y . Puede ocurrir que exista alg´ un entorno de x contenido en Y , en cuyo caso x ∈ Int(Y ), o bien que todos los entornos de x intersequen tanto a Y como a X − Y , caso en el cual x ∈ F r(Y ). (⊃) Basta observar que Int(Y ) ⊂ Cl(Y ) y F r(Y ) ⊂ Cl(Y ), claramente por definici´ on.

N) Claramente, la intersecci´on de cualquier entorno del u ´nico punto y ∈ Y con Y es {y}. Al definir los conjuntos de puntos notables ya hemos visto un ejemplo en el plano que ilustra su c´ alculo. Veamos ahora otros en distintos espacios topol´ogicos. 1 Consideramos un subconjunto Y de un espacio topol´ogico discreto X. Sabemos que todo punto x tiene por base de entornos β(x) = {{x}}. - Como Y es abierto, Int(Y ) = Y ≡ mayor abierto contenido en Y. - Ext(Y ) = Int(X − Y ) = X − Y , pues X − Y es tambi´en abierto.

Aunque f1 y f2 son continuas y coinciden en A ∩ B, como A y B no son cerrados no es posible aplicar el lema de continuidad. De hecho la aplicaci´on que resultar´ıa de hacerlo no es continua. 1. 7 Considerando la topolog´ıa usual sobre R, y la inducida por ´esta en los subconjuntos que se indican, se definen f1 : (−∞, 0] → R por f1 (x) = sen x, f2 : [0, 2] → R por f2 (x) = x y f3 : [2, ∞) → R por f3 (x) = 2. Estas aplicaciones est´an en las condiciones del lema de continuidad, luego la aplicaci´ on f que se representa a continuaci´ on es tambi´en continua.

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